/ 芝诺悖论 /

(资料图片)

导言

introduction

在数学史上，芝诺有口皆碑，他关于运动的悖论拉开了17世纪最终确立的第二次数学危机的序幕，影响了后来的微分学和离散数学的发展，贝尔（Eric Temple Bell，20世纪美国数学史家）评价他最早以“非数学的语言”揭示了人们对连续性和无限性的思考。在哲学史上，黑格尔和亚里士多德曾称赞芝诺是辩证法的创始人，芝诺悖论（Zeno's paradox）对早期希腊哲学的辩证法、特别是对形而上学中时间与空间、有限与无限等核心论题产生了不可忽视的贡献。

Part.1原典追踪

芝诺最著名的是“关于运动的不可分性”思想，主要记载于他的《论自然》残篇和亚里士多德的《物理学》中。其中芝诺不仅试图维护形而上学中存在的唯一性与不动性，为巴门尼德的存在学说进行辩护，而且思考了数学中的“无限分割”难题。

芝诺悖论的第一条叫作“二分法”悖论。亚里士多德在自己的《物理学》中记载了芝诺否定运动的4组论证，其中，“第一个论证肯定运动是不存在的，根据是移动位置的东西在达到目的地以前必须达到途经的一半处。”例如：我们假设一段50米的路，走过这段路需要1分钟的时间，0.5分钟走过25米，0.25分钟走过12.5米，0.125分钟走过6.25米……以此二分方式分割下去直到距离趋于0（无限小）米，如此一来，有限的50米距离内就包含无限多个位置或点，而无穷多个点是我们永远也走不完的，所以这段路程永远都走不尽，这就在逻辑上证明了运动是根本不可能的。

芝诺悖论的第二条是“阿基里斯追乌龟”悖论。《物理学》记载了希腊神话中最擅长奔跑的英雄阿基里斯（又译：阿喀琉斯）追跑步最慢的乌龟的轶事，“在赛跑的时候，跑得最快的永远追不上跑得最慢的，因为追者首先必须达到被追者的出发点，这样，那跑得慢的必定总是领先一段路。”阿基里斯和乌龟从不同的起点出发，每当阿基里斯追到了乌龟曾经领先时候的位置，先跑的乌龟总是已经移动了一段距离，所以阿基里斯只能无限接近。

亚里士多德认为这个悖论和二分法悖论殊途同归，并且给出了自己的解决办法，“在领先的时候没有被追上则是对的，可是，如果让他跑过一段指定的有限距离，他就被追上了。”亚里士多德实际上没有理解芝诺悖论当中的数学意义，他只是按照常识给出了一个“实践上”可信的回答；芝诺悖论里面的极限思想直到2000多年后微积分的确立才真正解开。

芝诺悖论的第三条是“飞矢不动”悖论。《物理学》中说，“第三个论证是上面说过的，飞矢不动，它是从时间是由‘瞬间的总和’这个假设中得出的。如果不承认这个假设，就不会得出这样的结论。”飞行的箭在其飞行线路中每一个瞬间都占有确定的位置（空间），而每一个瞬间飞箭在占据空间的时候都是静止的，所以飞箭的行程实际上是由无穷多个静止的状态连接起来的，所以飞箭其实没有运动，它一直是静止的。

芝诺悖论的第四条为“运动场（游行队列）”悖论。柏内特对亚里士多德《物理学》中记述的运动场悖论有一个较为清晰的整理，“假设有三列物体，其中的一列[A],当其他二列[B,C]以相等速度循相反方向运动时，是静止的（状况如图1）。”这个相对运动的关系可以直观地表达为下图：

其中，队列A是“静止的物体（观众席）”，队列B是“从起点到终点运动的物体（一队运动员）”，队列C是“从终点到起点运动的物体（另一队运动员）”。芝诺认为，当B和C两队列开始朝向相反方向移动、直到与A队列完全重合时，虽然B队列和C队列移动的距离或位置相等，但是B队列走过的时间（数目）却等于C队列走过时间（数目）的2倍。即“B用来越过C的时间要比它用来越过A的时间长一倍。但是B和C用来走到A位置的时间却相等。所以一倍的时间等于一半的时间。”产生该悖论的关键在于：芝诺在衡量B和C队列的运动时采取了不同的参照系（B动时参照A，C动时参照B），而且设定了A、B、C三个队列自身也由内在分割的片段构成。

Part.2概念延拓

芝诺悖论与中国古代的辩证法有异曲同工之妙。芝诺的“二分法”悖论与《庄子·天下篇》中惠施所述的无限分割思想类似，不过二者有不同的论证目的。惠施提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”他从有限的长度中意识到无限分割是可能的，揭示了有限与无限的辩证关系，其目的是肯定有限事物的无限分割性；芝诺的目的则是借助时间和空间的无限分割假设，反过来说明运动的不可能、荒谬性。此外“飞矢不动”悖论和惠施所说的“飞鸟之影，未尝动也”也有类似之处，惠施据此揭示运动与静止的辩证关系；芝诺将“运动的箭”分析为“静止的箭”，从辩证角度来讲也揭示了运动和静止相辅相成的关系。

芝诺悖论所蕴含的辩证法思想深刻地影响了后世哲学的发展。芝诺悖论对时间、空间以及无限性问题的讨论蕴含着深刻的辩证法思想，为德国观念论哲学家所吸收。康德在《纯粹理性批判》的先验宇宙论中曾提出4组经典的“二律背反”，其中涉及了时间和空间、有限与无限、自由与必然等辩证关系；黑格尔在《哲学史讲演录》中高度评价了芝诺关于时间、空间和无限分割的思想，在此基础上，他区分了“真无限”与“坏无限”，并且推进了二者的辩证关系。生命哲学家柏格森评价，芝诺悖论的漏洞在于他混淆了运动与空间，时间与瞬间，柏格森以绵延（连续的意识流状态）理论为芝诺悖论提供了一种可能的解决方法。

Part.3考情解析

“芝诺悖论”是西方哲学史的中频考点，考察频率2颗星★★

该知识点的考察方式单一、明确，以名词解释题和简答题为主，基本不涉及论述题。例如：北京交通大学2023年外哲科目以简答形式考察了“芝诺悖论”；大连理工大学2023年外哲科目以名词解释形式考察了“飞矢不动”；北师大2023年哲学综合科目以简答形式考察了“阿基里斯追乌龟”。

“芝诺悖论”涉及的问题艰深，对思辨能力要求较高，不过考研的考察形式并不算深入。因此同学们在考场作答时可以参照以下答题框架（简答适用）：首先说明芝诺对巴门尼德存在学说的维护，其次结合亚里士多德《物理学》和芝诺《论自然》残篇中有关4组悖论的记载，列举“芝诺悖论”的名称与内容，并且以白话进行解释。最后以一到两句话简评其哲学史意义（可参考亚里士多德的点评、黑格尔的无限性思想、康德的二律背反、柏格森的评价等）。